Pi benaderen

Pi?
Als je in Google de zoekopdracht ‘pi’ invoert, dan is het eerste resultaat dat Google je geeft: ‘pi = 3,14159265’. Als je even verder kijkt, vind je antwoorden die meer cijfers achter de komma geven. Helaas zijn dit allemaal benaderingen, pi heeft namelijk oneindig veel cijfers achter de komma. Als je precies wilt zijn kun je de volgende definitie gebruiken: pi is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, ofwel omtrek is diameter keer pi.

Opmeten
Om pi te benaderen kun je gebruik maken van verschillende methodes. Voor de simpelste methode heb je een cirkel (bijvoorbeeld een blikje), een touwtje en een liniaal nodig. Meet met behulp van het touwtje de omtrek en de diameter. Bereken de verhouding, en je hebt een benadering van die gebaseerd is op de definitie.

Methode van Archimedes
Archimedes gebruikte een nauwkeurigere methode. Als je een cirkel hebt dan is er een zeshoek die precies in de cirkel past en er is een zeshoek die precies om de cirkel heen past. De omtrek van de cirkel ligt tussen de omtrek van de kleine en de grote zeshoek in. Als we een cirkel gebruiken diameter 1, de formule is dan omtrek is 1 keer pi, dan ligt dus pi tussen de omtrek van de kleine en de grote zeshoek in. Nemen we nu een twaalfhoek, dan is het verschil tussen de omtrek van de kleine en de grote veelhoek kleiner en de benadering beter.

Computer
Je kunt met een rekenmachine de omtrek van de veelhoeken uitrekenen, maar je kunt ook een programma schrijven die in elke stap een grotere veelhoek gebruikt om pi te benaderen. In de afbeelding hiernaast zie je een grafiek van de eerste zeven rekenstappen. De methode geeft dan een benadering waarbij de eerste drie cijfers achter de komma juist zijn.

Interessante onderzoeksvragen

• Beschrijf verschillende methodes waarmee je pi kunt benaderen. Hoe werken deze methodes?
• Hoe kun je de decimalen van pi berekenen?
• Wat zijn de toepassingen van het getal pi?

Als praktisch deel van je profielwerkstuk kun je een dag langskomen op de universiteit. Tijdens deze dag leer je hoe je programmaatjes bij je gevonden methodes kunt maken. Je kunt hiermee de methodes vergelijken op snelheid en nauwkeurigheid.

Handige links

• TED lesson over pi (Engels)
• De magie van pi (kennislink)
• Het zestig biljoenste bit van pi-kwadraat (kennislink)

Opmerkingen

Heb je vragen of lijkt het je leuk hier je profielwerkstuk over te doen? Neem dan contact op met het Betasteunpunt.