Piece of a cake

Voor onderhoudende experimenten heb je niet per se een groot laboratorium nodig. Met een chocoladecake kun je wiskunde aanschouwelijk maken. Met één snede zes hoeken maken. Wie wil dat nu niet?

Hoe verdeel je een appeltaart zo eerlijk mogelijk? Stel bijvoorbeeld dat je met z’n tweeën bent en je hebt een hele taart tot je beschikking. Eenvoudig: je snijdt zelf de taart en je laat de ander kiezen. Allebei tevreden: jij hebt natuurlijk je uiterste best gedaan om twee precies gelijke stukken van de taart te snijden, terwijl je gezelschap naar zijn of haar eigen idee het grootste stuk taart heeft gekozen – daarbij ga ik voor het gemak even voorbij aan de vraag of het verstandig is met z’n tweeën een hele appeltaart te verorberen.

Het taartprotocol is zo eenvoudig dat iedereen het kent. Of hoort te kennen. Persoon A snijdt, persoon B kiest, een kwestie van simpele etiquette. Lastiger wordt het zodra je met z’n drieën bent. Stel dat A snijdt en dat vervolgens B het eerste stuk kiest, dan blijft C met een kater zitten. Het brok van C is groter dan dat van A, die als derde kiest omdat hij de stukken heeft gesneden, maar hij is kleiner dan die van B, die als eerste mocht kiezen.

Biedt de etiquette toevallig een oplossing voor het verdelen van een taart met drie personen? Daar heeft de BOEM-redactie Hoe hoort het eigenlijk (twaalfde druk, 1957) van Amy Groskamp–Ten Have maar eens op nageslagen. Een onmisbaar boek vol oneliners om familie, vrienden en collega’s mee te tuchtigen (“De graad van iemands welgemanierdheid hangt ten nauwste samen met de mate van zelfbeheersing aan de dag gelegd bij onvoorziene gebeurtenissen”) (“Wie aardigheden ten beste wil geven, zorgt voor drie dingen: geest, kortheid en gave van vertellen – Wie een dezer mist zwijgt liever!”), maar over het verdelen van appeltaarten schrijft Groskamp–Ten Have niet.

Gelukkig is er ook nog de wetenschap – die onmisbare hamer om op het aambeeld van de dagelijkse werkelijkheid te beuken. In 1944 bedacht de Poolse wiskundige Hugo Steinhaus een driepersoons verdeelsleutel van in totaal zeven stappen. Het protocol is te lang om hier in z’n geheel over te nemen.

Het kan ook anders, ook met behulp van de wiskunde. Daarvoor is wel een kleine aanpassing nodig: neem geen taart maar een (chocolade)cake. Vraag je gezelschap of zij met één snede een vijfhoekige plak cake kunnen snijden. Of een zeshoekige plak, een parallellogram of een driehoek.

Trek vervolgens het mes door de cake om een perfecte zeshoekige plak te snijden. En daarna een vijfhoek en vervolgens, om het af te maken, een parallellogram. Het resultaat is een stapel veelhoekige brokken chocoladecake met uiteenlopende maten. Grote kans dat het gezelschap zo overdonderd is dat niemand het merkt als je zonder verdere plichtplegingen het grootste stuk pakt.

Hoe werkt het? Simpel. Het aantal zijden van de plak die je snijdt, wordt bepaald door het aantal kanten van de cake waar je mes doorheen gaat. Bij een gewone huistuin-en-keukenplak ga je door vier kanten zijden van de cake en heeft de plak dus ook vier zijden. Voor een vijfhoekige plak moet je met het mes door een vijfde kant en voor een zeshoekige plak moet je, inderdaad, een snede maken die door alle zes de kanten van de cake gaat. Om dat met overtuiging te doen, is wel oefening nodig.

Om een parallellogram te snijden, moet het mes onder twee hoeken schuin door de cake. Als je de cake in een XYZ-assenstelsel zou plaatsen, moet je over zowel de XY-as als XZ-as diagonaal door de cake.

Auteur: Ernst Arbouw