Een auto? Of liever de geit?

Voor onderhoudende experimenten heb je niet per se een groot laboratorium nodig. En voor een lesje kansberekening heb je alleen wat bekers en knikkers nodig. En misschien een geit.

Stel je doet mee aan een televisiequiz. En stel je wint de finale. En stel dat je dan zelf mag kiezen wat je wint. Daarvoor laat de quizmaster je drie gesloten deuren zien. Achter een van de deuren staat een luxe sportauto, vertelt hij. Achter de twee andere deuren staan geiten. Je kiest een willekeurige deur – laten we zeggen, de middelste. “Weet je het zeker?”, vraagt de presentator. Ja, je weet het zeker. “Dan gaan we nu laten zien wat je niet gewonnen hebt”, zegt hij. De meest linkerdeur gaat open en daar staat – mèèèèh – een geit. “Wil je nog van deur veranderen?”, vraagt de presentator.

Tsja, wat doe je dan? Een geruststelling: je bent niet de eerst  die worstelt met deze vraag. De vraag met de geiten, de deuren en de auto komt uit de Amerikaanse quizshow Let’s Make a Deal, tussen 1963 en 1991 met korte onderbrekingen gepresenteerd door de (althans voor Amerikanen) legendarische Monty Hall (1921).

Stel nog even dat je naast Monty Hall in de studio staat. Hij heeft je net deurtje A – met een geit laten zien en vraagt nu of je je keus (deurtje B) nog wil veranderen. Waarom zou je? Drie deuren, één auto: kans van één op drie dat de auto achter deur B staat. Daar doet de geit achter deur A niets aan af. Dus je blijft bij je keus.

Het licht in de studio wordt gedimd en kijkers thuis houden hun adem in als deurtje B langzaam openschuift. En daar staat – mèèèèh – nog een geit.

Was je kans op een auto groter geweest wanneer je alsnog deur C had gekozen? Ja. Sterker: je had je kans op een auto verdubbeld. Dat kun je eenvoudig aannemelijk maken met zestig koffiebekers, twintig knikkers en iemand om knikkers onder de koffiebekers te verstoppen.

Zet de bekers in een rij van drie-bij-twintig en laat je assistent twintig keer onder een van de drie bekers een knikker verstoppen. Zorg dat ‘ie per rij opschrijft wáár de knikker ligt. Nu ga je de rij af. Jij wijst iedere keer een beker aan en hij onthult de knikker. Aan het eind heb je ruwweg van één op de drie knikkers geraden waar hij lag.

Doe het nu andersom: jij verstopt de knikkers en je gezelschap probeert te raden waar ze liggen. Eén verschil: iedere keer als je assistent een beker aanwijst, til jij één beker op, en wel een beker waar de knikker niet ligt. Daarna verandert je gezelschap systematisch z’n keus. Dus stel hij wijst A aan, jij onthult C, dan kiest hij B. En zo twintig keer. Wat blijkt? Aan het eind heeft hij van ongeveer twee op de drie knikkers geraden waar ze liggen. Nee, dat is géén toeval.

Huh?

De truc is vrij simpel, maar wel een beetje tegenintuïtief. Met drie dichte deuren is de kans dat je een auto aanwijst 1/3. Als je niet van deur wisselt, ga je dus in één op de drie gevallen met een auto naar huis.

Omgekeerd is de kans op een geit 2/3. Stel nu dat je een deur met een geit aanwijst. De quizmaster heeft maar één manier om de spanning erin te houden: de andere de deur-met-geit openen. Als je nu van deur wisselt, heb je de auto gewonnen. De kans dat je bij je eerste poging direct de auto aanwijst blijft één op drie. De kans dat je de auto verliest door vervolgens van deur te veranderen blijft dus ook één op drie.

Mèèèèh.

Auteur: Ernst Arbouw