Eén dag zon per jaar

Voor onderhoudende experimenten heb je niet per se een groot laboratorium nodig. Met een stokje – en een collega in Egypte – kun je de omtrek van de aarde b erekenen.

Het was de oude Griek Eratosthenes ter ore gekomen dat in de stad Syene, het huidige Aswan in Zuid Egypte, een put was waar één dag per jaar de zon de bodem bescheen. Bij Eratosthenes, destijds de bibliothecaris van Alexandrië, ging er ogenblikkelijk een lampje branden. Op die ene dag in het jaar, bedacht hij, staat de zon recht boven Syene. Als hij diezelfde dag zou meten hoe hoog de zon boven Alexandrië stond, dan zou hij de omtrek van de aarde kunnen berekenen.

Eratosthenes mat de bewuste dag (21 maart, Syene ligt precies op de Kreeftskeerkring) de lengte van de schaduw van de obelisk in Alexandrië. Zo berekende hij dat de zon op 82,8 graden aan de hemel stond. Anders gezegd: op een denkbeeldige cirkel die de aarde over de polen omspant, liggen Syene en Alexandrië 7,2 graden uit elkaar. Omdat hij wist dat er 360 graden in een cirkel gaan en omdat hij de afstand tussen de twee plaatsen kende (5000 stades) was de rest een invuloefening: de omtrek van de aarde was 250.000 stades.

Om zelf de omtrek van de aarde te bepalen, heb je een stok, een meetlat en als het even kan een gps-ontvanger nodig. Verder heb je een collega nodig die twee weken naar Egypte gaat en het kan handig zijn om een gratis planetariumprogramma (www.stellarium.org) te installeren op je pc.

Allereerst wil je weten wat de precieze lengte- en breedtegraad is waarop je je bevindt en wil je weten waar je helper precies is. (hint: het Harmonieplein in Groningen ligt op 53°13’07” N, 6°33’38” O). Met die getallen kun je berekenen hoe laat de zon op jouw locatie precies in het zuiden staat. De makkelijkste methode is om de cijfers in te voeren in een planetariumprogramma en je computer vervolgens het harde werk te laten doen.

Als je voor beide plaatsen weet hoe laat de zon in het zuiden staat, kun je aan de slag: meet de zonnehoogte door precies als de zon in het zuiden staat, de lengte van de schaduw van een stok te meten. Met de lengte van de stok en de lengte van de schaduw bereken je de hoek (hint: tan is overstaande zijde gedeeld door aanliggende zijde).

Weet je van beide plaatsen de hoek van de zon boven de horizon, dan weet je ook hoeveel graden ze uiteen liggen. En als je weet hoeveel graden ze uit elkaar liggen en hoeveel kilometer de plaatsen uit elkaar liggen, dan kun je de omtrek van de cirkel uitrekenen.

Er is alleen één probleem: hoe bepaal je hoever de meetplaatsen uit elkaar liggen? Het is een beetje valsspelen, maar goed: met de gps. De afstand Groningen – Karanis, Egypte, is 3291 kilometer kilometer op een kompaskoers van 134 graden. Met wat middelbareschoolwiskunde (hint: cos is aanliggende gedeeld door schuine) kun je berekenen dat Karanis 2286,12 kilometer naar het zuiden ligt.

In Groningen had een 52 cm lange stok een schaduw van 157 cm; in Karanis had een stok van vier meter een schaduw van 453 cm. Het verschil is 23,115°. Daarmee kom je op een aardomtrek van 2286,12 : 23,115 x 360 = 35.605 kilometer. Niet gek, maar ook niet bloedstollend nauwkeurig: de werkelijke omtrek is 40.000 kilometer.

Ter vergelijking: een Olympische stade is een oude Griekse maat voor 185 meter. De 250.000 stades van Eratosthenes zijn omgerekend dus 46.250 kilometer. Het is echter waarschijnlijk dat Eratosthenes – hij woonde tenslotte in Alexandrië – rekende met Egyptische stades (157 meter). De aardomtrek is in dat geval 39.350 kilometer – een nauwkeurigheid van 98,4 procent. Niet gek voor een oude Griek met alleen een meetlat.

Auteur: Ernst Arbouw