Promotie dhr. M.A. Soomro: Algebraic curves over finite fields
| Wanneer: | ma 10-06-2013 om 09:00 |
Promotie: dhr. M.A. Soomro, 9.00 uur, Academiegebouw, Broerstraat 5, Groningen
Proefschrift: Algebraic curves over finite fields
Promotor(s): prof. dr. J. Top
Faculteit: Wiskunde en Natuurwetenschappen
Algebraïsche krommen over een eindig lichaam
Algebraïsche krommen over een eindig lichaam is een fascinerend onderwerp binnen de getaltheorie en de algebraïsche meetkunde. Het heeft toepassingen in diverse gebieden, bijvoorbeeld in cryptografie en in coderingstheorie. Dergelijke krommen worden namelijk gebruikt voor het construeren van foutenverbeterende codes en voor het ontwerpen van veilige protocollen voor datacommunicatie.
Gemotiveerd door deze toepassingen hebben wiskundigen als Ihara, Serre, Vladut en Drin'feld het maximale aantal punten op krommen bestudeerd bij een vast eindig lichaam. Hier wordt het maximum genomen over alle krommen in een zekere klasse die bepaald wordt door een meetkundige invariant, namelijk het zogeheten geslacht van de kromme. Bovengrenzen voor dit maximum in termen van het geslacht en het eindige lichaam zijn gevonden door Weil en Serre.
In zijn proefschrift geeft Afzal Soomro constructies van krommen met veel punten. Als het geslacht 1 of 2 is, levert dit expliciete gevallen waarvoor het maximum wordt bereikt. Voor hoger geslacht noemen we een kromme ‘goed’ als het aantal punten erop minder dan 10% afwijkt van de door Weil en Serre gevonden bovengrens.
We blijken in staat, veel ’goede’ krommen te construeren. Dit heeft heel veel data opgeleverd voor de website www.manypoints.org.
Tenslotte wordt in het proefschrift voor het geval van geslacht 1 een uitbreiding gegeven van een elementair bewijs afkomstig van Yuri I. Manin (1956) voor een klassiek resultaat van Helmut Hasse (1933) dat een goede bovengrens voor het aantal punten in dit speciale geval levert.
Afzal Soomro studeerde aan de Quaid-e-azam University of Engineering, Science and Technology (QUEST) in Islamabad, Pakistan. Soomro werkt bij deze universiteit, die zijn onderzoek financierde via een HEC-beurs.